Question

如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点G（如图2所示），若AB=2

5

，AD=2，求线段BC和EG的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE，OC，即可证明△OEC≌△OEC，根据DE与⊙O相切于点E得到OEC=90°，从而证得∠OBC=90°，则BC是圆的切线．
（2）先求线段BC的长，过D作DF⊥BG于F，则四边形ABFD是矩形，有DF=AB=2

5

，在Rt△DCF中，由切线长定理知AD=DE、CE=BC，那么CD=CE+2，CF=CE-2，利用勾股定理可求得CE的长；△ADE中，由于AD=DE，可得到∠DAE=∠AED=∠CEG，而AD∥BG，根据平行线的内错角相等得到∠G=∠EAD=∠CEG，由此可证得CE=CG=CB，即可求得BG的长；
在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得AG的值，易证△ADE∽△GCE，根据相似三角形的相似比，可求得AE、EG的比例关系，联立AG的长，即可得到EG的值．

解答：（1）证明：连接OE，OC；（1分）
∵CB=CE，OB=OE，OC=OC
∴△OEC≌△OBC（SSS）
∴∠OBC=∠OEC （2分）
又∵DE与⊙O相切于点E
∴∠OEC=90° （3分）
∴∠OBC=90°
∴BC为⊙O的切线．（4分）

（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，
∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B
∴DA=DE，CE=CB，
设BC为x，则CF=x-2，DC=x+2，
在Rt△DFC中，(x+2)2-(x-2)2=(2

5

)2，
解得：x=

5

2

；（6分）
∵AD∥BG，
∴∠DAE=∠EGC，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠AED；
∵∠AED=∠CEG，
∴∠EGC=∠CEG，
∴CG=CE=CB=

5

2

，（7分）
∴BG=5，
∴AG=

(2 5 )2+52

=

45

=3

5

；（8分）
解法一：连接BE，S△ABG=

1

2

AB•BG=

1

2

AG•BE，
∴2

5

×5=3

5

BE，
∴BE=

10

3

，（9分）
在Rt△BEG中，
EG=

BG2-BE2

=

52-( 10 3 )2

=

5

3

5

，（10分）
解法二：∵∠DAE=∠EGC，∠AED=∠CEG，
∴△ADE∽△GCE，（9分）
∴

AD

CG

=

AE

EG

，

2

2.5

=

3 5 -EG

EG

，
解得：EG=

5 5

3

．（10分）

点评：此题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形及相似三角形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用，是一道难度较大的综合题．