Question

如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的上有一运动的点P．从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为________．

Answer 1

cm
分析：如图，连OI，PI，AI，由△OPH的内心为I，可得到∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易证△OPI≌△OAI，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO，可得∠APO=180°-135°=45°，得∠AOO=90°，O′O=OA=×2=，然后利用弧长公式计算弧OA的长．
解答：解：如图，连OI，PI，AI，
∵△OPH的内心为I，
∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OA，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°-（∠HOP+∠OPH）=180°-（180°-90°）=135°，
又∵OP=OA，OI公共，
而∠IOP=∠IOA，
∴△OPI≌△OAI，
∴∠AIO=∠PIO=135°，
所以点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上；
过A、I、O三点作⊙O′，如图，连O′A，O′O，
在优弧AO取点P，连PA，PO，
∵∠AIO=135°，
∴∠APO=180°-135°=45°，
∴∠AOO=90°，而OA=2cm，
∴O′O=OA=×2=，
∴弧OA的长==（cm），
所以内心I所经过的路径长为cm．
故答案为：cm．
点评：本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．