Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8厘米，AB=10厘米，点P由点C出发以每秒2厘米的速度沿线段CA向点A运动，⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AC、AB相切于点D、E，当点P运动2秒钟时，求⊙O的半径r的大小．

Answer 1

分析：连接OD、OE，作OF⊥BC于F．设DP=a，由勾股定理知BF²+OF²=BE²+OE²、由平行线截线段成比例得到

OD

BC

=

DP

CP

；所以据此列出关于r、a的方程组，解得r=

12

7

厘米．

解答：解：在Rt△ABC中，AC=8厘米，AB=10厘米，
∴BC=6cm；
连接OD、OE，作OF⊥BC于F．
∵∠C=90°，OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴

OD

BC

=

DP

CP

（平行线截线段成比例）；
设DP=a，则BF²+OF²=BE²+OE²，
∴

r 6 = a 2×2 (6-r) 2+(4-a)  2=(6-a)2+r2

，
解得r=

12

7

厘米．
故⊙O的半径r的大小为

12

7

厘米．

点评：本题考查了切线的性质、勾股定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．