Question

【题目】如图1，为半圆的直径，为的延长线上一点，为半圆的切线，切点为.

（1）求证：；

（2）如图2，的平分线分别交，于点，.

①求的值；

②若，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①1；②

【解析】

（1）连接，由切线性质得，根据直径所对的圆周角为直角得，由“三角形中等角对等边”得，根据角的等量代换即可证得。

（2）①根据角平分线性质和三角形外角性质进行角的等量代换即可得到，证得是等腰直角三角形，即可求得的正切值。

②由勾股定理求得，通过得到线段比例式求得、，再由得到线段比例式求得即可。

（1）连接

∵为半圆切线∴，即

∵为直径∴∴

∵∴∴，即

（2）①∵是的平分线，∴

∵，

∵，即∴，

∵∴

②在中，，∴

∵，

∴∴

设，，∴

∵

∴，即∴（舍）

∴，.

设，则

可得∴

即

∴