Question

如图14，已知点A（－1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90⁰，抛物线经过A、B、C三点，其顶点为M.
求抛物线的解析式；
试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；
在抛物线上是否存在点N，使得?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4，
∴△ACO∽△ABO 。∴，∴OC²=OA•OB=4。
∴OC=2。∴点C（0，2）。
∵抛物线经过A、B两点，
∴设抛物线的解析式为：，将C点代入上式，得：
，解得。
∴抛物线的解析式：，即。
（2）直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下：
如图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD。

由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=AB。
由（1）知：，
则点M（），ME=。
而CE=OD=，OC=2，∴ME：CE=OD：OC。
又∵∠MEC=∠COD=90°，∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。
∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。
∵CD是⊙D的半径，∴直线CM与以AB为直径的圆相切。
（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=，
则：。
过点B作BF⊥BC，且使BF=h=，过F作直线l∥BC交x轴于G。

Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，
BG=BF÷sin∠BGF=。
∴G（0，0）或（8，0）。
易知直线BC：y= x+2，则可设直线l：y= x+b，
将G点坐标代入，得：b=0或b=4，则：
直线l：y= x或y=x+4；
联立抛物线的解析式，得：
，或。
解得或或。
∴抛物线上存在点N，使得，这样的点有3个：
。

解析