Question

已知正整数a，b，c满足a＞b＞c，且34-6（a+b+c）+（ab+bc+ca）=0，79-9（a+b+c）+（ab+bc+ca）=0，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：先设A=a+b+c，B=ab+bc+ca，把方程转化为关于A、B的二元一次方程组，求出A、B的值，即可得到关于a、b、c的方程组，根据a＞b＞c及a+b+c=15即可推断出a、b、c的所有可能值，把这些值代入方程ab+bc+ca=56中求出符合条件的未知数的值即可．

解答：解：设A=a+b+c，B=ab+bc+ca，则

6A-B=34 9A-B=79

（3分）
解得

A=15 B=56

（5分）
即

a+b+c=15 ab+bc+ca=56

又∵a＞b＞c，
∴a＞5，c＜5，（7分）
∵a+b+c=15，
∴a=6、b=5、c=4或a=7、b=5、c=3或a=7、b=6、c=2或a=8、b=4、c=3或a=8、b=5、c=2或a=8、b=6、c=1或a=9、b=5、c=1或a=9、b=4、c=2或a=10、b=4、c=1或a=10、b=3、c=2，（10分）
代入ab+bc+ca=56可知，
只可能是a=10、b=3、c=2．（12分）
故答案为：a=10、b=3、c=2．

点评：本题考查的是非一次不定方程的解，解答此题的关键是设A=a+b+c，B=ab+bc+ca，求出A、B的值，再得到关于a、b、c的方程组，再由已知条件求出a、b、c的值．