Question

[x]表示不超过x的最大整数，如[3.2]=3，已知正整数n小于2004，且[

n

3

]+[

n

6

]=

n

2

，则这样的n有

 

个．

Answer 1

分析：首先由[

n

3

]+[

n

6

]是整数，可得n是偶数，然后分别从当n=6k（k为正整数）时，当n=6k+2（k为正整数）时，当n=6k+4（k为正整数）时去分析，即可得n=6k，即符合条件的n是6的倍数，即可求得n的个数．

解答：解：∵[

n

3

]+[

n

6

]=

n

2

是整数，
∴

n

2

是整数，
即n是偶数，
当n=6k（k为正整数）时，[

n

3

]+[

n

6

]=2k+k=3k=

6k

2

，∴n=6k满足要求．
当n=6k+2（k为正整数）时，[

6k+2

3

]+[

6k+2

6

]=[2k+

2

3

]+[k+

1

3

]=2k+k=3k，

6k+2

2

=3k+1，
∴[

n

3

]+[

n

6

]≠

n

2

，故此时无解；
当n=6k+4（k为正整数）时，[

6k+4

3

]+[

6k+4

3

]=[2k+

4

3

]+[k+

2

3

]=2k+1+k=3k+1，

6k+4

2

=3k+2，
∴[

n

3

]+[

n

6

]≠

n

2

，故此时也无解．
∴只有n=6k（K为正整数）时，[

n

3

]+[

n

6

]=

n

2

，
∴2004÷6=334，所以这样的正整数有334-1=333个．
故答案为：333．

点评：此题考查了取整函数的性质．此题难度较大，解题的关键是得到n是偶数，继而可得n是6的倍数．注意分类讨论思想的应用．