题目内容
如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4）．（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；
（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3：4的两部分，求出该直线的解析式．
【答案】分析：（1）根据平行四边形的性质可求点C的坐标，由待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；
（3）过点M作直线交x轴于点P1，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．
解答：解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∴点C的坐标为（5，4），
∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），
∴
，
解得
．
故抛物线的解析式为y=-
x2+
x+4．
（2）连结BD交对称轴于G，
在Rt△OBD中，易求BD=5，
∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，
又∵∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，
易证GH=HN，
∴点G与点M重合，
故直线BD的解析式y=-
x+4
根据抛物线可知对称轴方程为x=
，
则点M的坐标为（
，
），即GF=
，BF=
，
∴BM=
=
，
又∵MN被BC垂直平分，
∴BM=BN=
，
∴点N的坐标为（
，0）；
（3）过点M作直线交x轴于点P1，
易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，
由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P1M必与线段CD相交，
设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），
假设点P在对称轴的左侧，则P1F=
-a，P1E=7-a，
由△MKQ1∽△MFP1，得
=
，
易求Q1K=5P1F=5（
-a），
∴CQ1=
-5（
-a）=5a-10，
∴S2=
（5a-10+7-a）×4=28×
，
解得：a=
，
根据P1（
，0），M（
，
）可求直线P1M的解析式为y=
x-6，
若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=-
x+
．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
（2）连结BD交对称轴于G，过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，根据待定系数法即可求出直线BD的解析式，根据抛物线对称轴公式可求对称轴，由此即可求出点N的坐标；
（3）过点M作直线交x轴于点P1，分点P在对称轴的左侧，点P在对称轴的右侧，两种情况讨论即可求出直线的解析式．
解答：解：（1）∵点A、B、D的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4），且四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∴点C的坐标为（5，4），
∵过点A、C、D作抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），
∴
，解得
．故抛物线的解析式为y=-
x2+x+4．（2）连结BD交对称轴于G，
在Rt△OBD中，易求BD=5，
∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，
又∵∠DCB=∠CBE，
∴∠DBC=∠CBE，
过G作GN⊥BC于H，交x轴于N，易证GH=HN，
∴点G与点M重合，
故直线BD的解析式y=-
x+4 根据抛物线可知对称轴方程为x=
，则点M的坐标为（
，），即GF=，BF=，∴BM=
=，又∵MN被BC垂直平分，
∴BM=BN=
，∴点N的坐标为（
，0）；（3）过点M作直线交x轴于点P1，
易求四边形AECD的面积为28，四边形ABCD的面积为20，
由“四边形AECD的面积分为3：4”可知直线P1M必与线段CD相交，
设交点为Q1，四边形AP1Q1D的面积为S1，四边形P1ECQ1的面积为S2，点P1的坐标为（a，0），
假设点P在对称轴的左侧，则P1F=
-a，P1E=7-a，由△MKQ1∽△MFP1，得
=，易求Q1K=5P1F=5（
-a），∴CQ1=
-5（-a）=5a-10，∴S2=
（5a-10+7-a）×4=28×，解得：a=
，根据P1（
，0），M（，）可求直线P1M的解析式为y=x-6，若点P在对称轴的右侧，则直线P2M的解析式为y=-
x+．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：平行四边形的性质，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，抛物线对称轴公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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