Question

如图1，在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．如图2，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF． 请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明．

Answer 1

分析：（1）由在?ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用SAS即可判定：△BEC≌△DFA；
（2）易证得四边形AECF是平行四边形，又由CA=CB，E是AB的中点，解得CE⊥AB，继而证得四边形AECF是矩形；
易证得△ADF≌△CBE，则可证得BE=DF，BE∥DF．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE=

1

2

AB，DF=

1

2

CD，
在△BEC和△DFA中，

BC=DA ∠B=∠D BE=DF

，
∴△BEC≌△DFA（SAS）；

（2）四边形AECF是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵BE=DF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CA=CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

猜想：BE=DF，且BE∥DF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，

AD=CB ∠DAF=∠BCE AF=CE

，
∴△BCE≌△DAF（SAS）．
∴BE=DF，∠AFD=∠CEB．
∴BE∥DF．
∴BE=DF，且BE∥DF．

点评：此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．