Question

如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h．
在图1中，点P是边BC的中点，此时h₃=0，可得结论：h₁+h₂+h₃=h．
在图2，图3，图4，图5中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图2，图3，图4，图5中，h₁、h₂、h₃、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图2所得结论；
（3）证明图4所得结论；
（4）（附加题）在图6中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h₁、h₂、h₃、h₄，桥形的高为h，则h₁、h₂、h₃、h₄、h之间的关系为：h₁+h₃+h₄=．图4与图6中的等式有何关系．

Answer 1

解：（1）图2﹣5中的关系依次是：
h₁+h₂+h₃=h；h₁﹣h₂+h₃=h；h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂﹣h₃=h；
（2）图2中，h₁+h₂+h₃=h．
∵h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，
∴h₁+h₂+h₃=BPsin60°+PCsin60°=BCsin60°=ACsin60°=h；
（3）证明：图4中，h₁+h₂+h₃=h．
过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．
在△ARS中，由图2中结论知：h₁+h₂+0=h﹣h₃．
∴h₁+h₂+h₃=h．
（4）由（3）可知：h₁+h₃+h₄=．
将R、S延BR、CS延长线向上平移，
当n=0时，图6变为图4，上面的等式就是图4中的等式，
所以上面结论是图4中结论的推广．