Question

星期天，李大爷带着小孙子在公园放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时站在AQ延长线上B处的小孙子发现自己的位置与风筝和一灯杆PQ的顶点P在同一直线上．已知灯杆高为10m，若在B处测及灯杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC长为多少m？（结果保留根号）

Answer 1

分析：过点A作AD垂直BC交BC于点D，在RT△PQD中求出BQ，在RT△PQA中求出AQ，在RT△BAD中求出AD，然后利用三角形的外角的知识求出∠C的度数，在RT△ACD中可求出AC．

解答：解：过点A作AD垂直BC交BC于点D，

由题意得，PQ=10m，∠B=30°，∠PAQ=45°，∠CAE=75°，
在RT△PQB中，可得BQ=

PQ

tan∠B

=10

3

m；
在RT△PQA中，可得AQ=

PQ

tan∠PAQ

=10m，
故AB=BQ+QA=（10+10

3

）m，
在RT△ABD中，可得AD=AB×sin∠B=（5+5

3

）m，
又∵∠CAE=75°，
∴∠C=∠CAE-∠B=45°，
在RT△ACD中，AC=

AD

sin∠C

=（5

2

+5

6

）m．
答：绳子AC的长度为（5

2

+5

6

）m．

点评：此题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型，有一定难度．