Question

如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
求证：①AM平分∠DAB，②AD=AB+CD．

Answer 1

分析：（1）在AD上截取DN=DC，连接MN，根据SAS证△MDC≌△MDN，推出∠C=∠DNM=90°=∠ANM，CM=NE=BE，求出∠B=∠ANM=90°，根据HL证Rt△ABM≌Rt△ANM，推出AB=AN，∠BAM=∠NAM即可；
（2）由（1）AN=AB，DN=DC，代入求出即可．

解答：证明：（1）在AD上截取DN=DC，连接MN，
∵DM平分∠ADC，
∴∠NDM=∠CDM，
在△MDC和△MDN中

DN=DC ∠NDM=∠CDM DM=DM

，
∴△MDC≌△MDN（SAS），
∴∠C=∠DNM=90°=∠ANM，CM=NM=BM，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠ANM=90°，
在Rt△ABM和Rt△ANM中

AM=AM BM=MN

，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN，∠BAM=∠NAM，
∴AM平分∠BAD．

（2）由（1）知：AB=AN，DC=DN，
∴AD=AN+DN=AB+CD，
即AD=AB+CD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键，注意解题的方法：在大线段上截取DN=CD，证AN=AB即可．