Question

如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点.直线与抛物线同时经过.

（1）求的值.

（2）点是二次函数图象上一点，(点在下方)，过作 轴，与交于点，与轴交于点.求 的最大值.

（3）在（2）的条件下，是否存在点 ,使和 相似？若存在，求出 点坐标，不存在，说明理由.

Answer 1

（1）m=1，n=3；（2）4；（3）N或N.

【解析】

试题分析：（1）应用待定系数法求抛物线的解析式中的m和n的值；

（2）求出一次函数解析式，联系点的坐标的几何意义表示线段MN的长，根据所列关系式求最大值；

（3）分两种情况讨论，当 时，得到，计算OQ和NQ的值，得点N的坐标；当N为AB中点时，得到∽，进而得到点N的坐标.

试题解析：【解析】
（1） 抛物线 经过两点，

∴，解得：，

所以m的值为1，n的值为3，此时二次函数的表达式为.

(2)把点A(0，3)，点B（4，0）代入y=kx+b，得：

，解得： ，

∴经过A、B两点的一次函数的解析式为 .

，

∵0≤x≤4，∴ 当时，取得最大值为4.

(3)存在.

①当 时，（如图1）

可证： ，，

∴，

∴ ，

∵OA=3，OB=4，

∴AB=5，

∵ON·AB=OA·OB，

∴ON=，

∴NQ=，OQ= ，

∴N ；

②当N为AB中点时，（如图2）

，

∴∽，此时.

∴满足条件的N或N.

考点：1、待定系数法求解析式；2、图形与坐标；3、相似三角形的判定和性质.