Question

在□ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图（1））。
（1）在图（1）中画图探究：
①当P₁为射线CD上任意一点（P不与C点重合）时，连接EP₁，将线段EP，绕点E逆时针旋转90°得到线段EC₁，判断直线FG₁与直线CD的位置关系并加以证明；
②当P₂为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP₂，将线段EP₂绕点E逆时针旋转90°得到线段EG₂，判断直线G₁G₂与直线CD的位置关系， 画出图形并直接写出你的结论；
（2）若AD=6，tanB=，AE=1，在①的条件下，设CP₁=x，=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

Answer 1

解：（l）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直，证明：如图（1）， 设直线FG1与直线CD的交点为H， ∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1， ∴∠P1EG1=∠CEF=90°，EG1=EP1，EF=EC， ∵∠G1EF=90°-∠P1EF ∠P1EC=90°-∠P1EF， ∴∠G1EF=∠P1EC， ∴△G1EF≌△P1EC， ∴∠G1FE=∠P1CE， ∵EC⊥CD， ∴∠ P1CE=90°， ∴∠G1FE=90°， ∴∠EFH=90°， ∴∠FHC=90°， ∴FG1⊥CD， ②按题目要求所画图形见图（1），直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直。
（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠ADC， ∵AD=6，AE=1，tanB=， ∴DE=5，tan∠EDC=tanB=， 可得CE=4， 由（1）可得四边形FECH为正方形， ①如图（2）当P1点在线段CH的延长线上时， ∵FG1=CP1=x，P1H=x-4， ∴=×FG1×P1H= ∴y=x2-2x（x>4）， ②如图（3），当P，点在线段CH上（不与C、H 两点重合）时， ∴FG1=CP1=x，P1H=4-x， ∴=×FG1×P1H= ∴y=-x2+2x（0 ＜x＜4）， ③当P1点与H点重合时，即x=4时，△P1FG1不存在， 综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y=x2-2x（x ＞4）或y=-x2+2x（0＜x＜4）。