Question

如图，抛物线y=-与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．动点P从A点出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；同时动点Q从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设运动的时间为t秒．
（1）写出A，B，C三点的坐标和抛物线顶点D的坐标；
（2）连接PC，求当t=3时△PQC的面积；
（3）连接AD，当t为何值时，PQ∥AD；
（4）当t为何值时，△PQB为等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
与y轴相交于点C，顶点为D．
∴图象与x轴的交点坐标为：
0=-，
整理得：x²+4x-21=0，
解得：x₁=3，x₂=-7，
∴A（-7，0），B（3，0），
y=-，
=-（x²+4x）+4，
=-（x²+4x+4-4）+4，
=-[（x+2）²-4]+4，
=-[（x+2）²+，
∴D点的坐标为：（-2，），
图象与y轴的交点坐标为：y=4，
C（0，4）；

（2）过点Q做QE⊥BO，
∵动点P从A点出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；
同时动点Q从B点出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，
∵当t=3时，
∴AP=6，BQ=3，
BP=AB-6=10-6=4，
CO=4，BC=5，
∵QE∥CO，
∴△QEB∽△COB，
∴，
∴，
∴QE=2.4，
∴S_△PCB=×4×4=8，
S_△PQB=×PB×2.4=4.8，
∴S_△PCQ=S_△PCB-S_△PQB=8-4.8=3.2；

（3）做DF⊥AO，
∵当PQ∥AD时，
∴，
∵，
∴QE=，
∴BE=，
∴OE=3-t，
∴PO=7-2t，
∴PE=PO+OE=10-t，
∴解得：t=秒，

（4）当PB=BQ时，△PQB为等腰三角形．
∴10-2t=t，
解得：t=，
当PQ=BQ，
BE=PB=5-t，
BE=t，
∴t=5-t，
解得：t=，
当PQ=PB时，
=10-2t，
解得：t=0（舍去），t=，
故当t=，t=，t=，时，△PQB为等腰三角形．
分析：（1）运用配方法求出函数的顶点坐标即可，再结合函数图象与x轴相交，y=0，以及与y轴相交x=0，求出交点坐标即可；
（2）首先证明△QEB∽△COB，得出，，即可得出QE的长，进而求出S_△PCB=×4×4=8，S_△PQB的面积即可得出答案；
（3）利用三角形相似得出QE=，BE=，OE=3-t，PO=7-2t，进而求出即可；
（4）分别讨论得出当PB=BQ时，当PQ=BQ，△PQB为等腰三角形．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数与相似三角形相结合是考查的重点内容，同学们应学会分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．