Question

已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线与y轴交于点D（0，），试求点B到直线AD的距离；
（3）点P、Q为抛物线对称轴左侧图象上两点（点P在点Q的左侧），PQ=，且PQ所在直线垂直于直线AD，试求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵y=x²+bx+c过（3，0）和（0，-3），
则，
解得．
∴y=x²-2x-3；

（2）过点B作BH⊥AD于H，．
∴∠AHB=90°．
∵y=0时，0=x²-2x-3
∴x₁=-1，x₂=3，
A（-1，0），
∴OA=1．
∵D（0，），
∴OD=．
在Rt△AOD中，
AD=．
∵△ABH∽△ADO，
∴，
∴BH=；

（3）过点P作PM∥x轴，QM∥y轴交于于点M，
∴△QPM∽△ADO，
∴，
∴，
∴MQ=2PM．
∵MQ²+PM²=PQ²，
∴4PM²+PM²=5
∴PM=1，
∴QM=2．
设点P（a，a²-2a-3），则点Q（a+1，（a+1）²-2（a+1）-3），
（a²-2a-3）-[（a+1）2-2（a+1）-3]=2，
∴a=
∴点P（，-）．
分析：（1）直接运用待定系数法就可以求出抛物线的解析式；
（2）过点B作BH⊥AD于H，先根据勾股定理求出AD的值，再运用相似三角形的性质就可以求出BH的值从而得出结论；
（3）过点P作PM∥x轴，QM∥y轴交于于点M，延长QP交AD于点E，就可以得出△QPM∽△ADO就可以求出PM与QM的数量关系，由勾股定理就可以求出PM，QM的值，再表示出点P、点Q的坐标根据QM的值为2就可以求出其解．
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，平行线的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用相似三角形的性质求线段的长度是解答本题的关键．