Question

直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在腰AB上有一动点P．
（1）连接DP、CP，使得△PAD与△PBC相似，求出此时AP的长；
（2）若点P在直线AB上运动则满足上述条件的P共有

 

个；
（3）在直线AB上存在一点M，使得△DMC周长最小，直接写出AM的长，并求出△DMC的周长．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的性质分情况讨论得出AP的长．
（2）由（1）得出满足上述条件的P共有6个；
（3）由（1）得出AM的长，根据两点之间线段最短得出△DMC最小的周长．

解答：解：（1）分两种情况：
①如果△PAD∽△PBC，
则PA：PB=AD：BC=2：3，
又PA+PB=AB=7，
∴AP=7×2÷5=2.8；
②如果△PAD∽△CBP，
则PA：BC=AD：BP，
即PA•PB=2×3=6，
又∵PA+PB=AB=7，
∴PA、PB是一元二次方程x²-7x+6=0的两根，
解得x₁=1，x₂=6，
∴AP=1或6．
综上，可知AP=2.8或1或6．

（2）若点P在直线AB上运动则满足上述条件的P共有6个；

（3）延长CB到C′，使C′B=CB，连接DC′，交AB于点M．
此时△DMC周长最小，AM=2.8．
在△ADM中，∠A=90°，AD=2，AM=2.8，∴DM=

2

5

74

，
在△BCM中，∠B=90°，BC=3，BM=4.2，∴CM=

3

5

74

CD=

72+12

=5

2

故△DMC的周长=DM+CM+CD=

74

+5

2

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同时考查了轴对称-最短路线问题，难度较大．