Question

【题目】如图，在等腰中，，点是内一点，连接，且，设.

（1）如图1，若，将绕点顺时针旋转至，连结，易证为等边三角形，则 ， ；

（2）如图2，若，则 ， ；

（3）如图3，试猜想和之间的数量关系，并给予证明.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）

【解析】

（1）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，只要证明△DAP为等边三角形，即可解决问题；
（2）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，只要证明△DAP为等腰直角三角形，即可解决问题；
（3）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，只要证明△BPA≌△BPD（SSS），即可解决问题；

解：（1）如图1中，

由旋转不变性可知： ，，，

∵在等腰中，，，

∴，CP为三线合一的线

∴ ，

∴

在中，，，

∴为等腰直角三角形
∴，
∴，

∴△APD是等边三角形，
∴∠ADP=∠APD=60°，
∵∠CDP=∠CPD=45°，
∴∠ADC=∠APC=∠CPB=105°，
∴∠APB=360°-105°-105°=150°，
∴α=150°，β=105°，
故答案为150°，105°．

（2）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP．

由旋转不变性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，

∴为等腰直角三角形
∴，
∵，

，
∴，，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APD=90°，∠ADP=45°，
∴∠APC=135°，∠BPC=∠ADC=90°，
∴∠APB=360°-135°-90°=135°，
∴α=135°，β=90°，
故答案为135°，90°．

（3）将△PBC绕点C顺时针旋转90°至△DAC，连结DP，延长PB交AD与S，
由旋转不变性可知：BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°，

∴为等腰直角三角形
∴，
∵，

∴PA=PD，
∵∠BPC+∠CPS=180°，∠BPC=∠ADC，
∴∠ADC+∠CPS=180°，
∴∠PSD+∠PCD=180°，
∴∠PSD=90°，
∴PS⊥AD，

∵PA=PD，

∴△ADP是等腰直角三角形，
∴SA=SD，

∴△ABP是等腰直角三角形，
∴BA=BD，
∵BP=BP，PA=PD，BA=BD，
∴△BPA≌△BPD（SSS），
∴∠APB=∠BPD，
∴ ∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°，
即： ．