Question

14．有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=$\frac{M的面积}{S的面积}$．有一块边长为30cm的正方形ABCD飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等．求下列事件发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5cm的一个圆（如图1），求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点O，求△OAB为钝角三角形的概率．

Answer 1

分析 （1）分别计算半径为5cm的圆的面积和边长为30cm的正方形ABCD的面积，然后计算$\frac{半径为5cm的圆的面积}{边长为30cm的正方形ABCD的面积}$即可求出飞镖落在圆内的概率；
（2）根据题意及结合图形可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形，然后计算以AB为直径的半圆的面积，然后用半圆的面积除以正方形的面积即可求△OAB为钝角三角形的概率．

解答 解：（1）∵半径为5cm的圆的面积=π•5²=25πcm²，
边长为30cm的正方形ABCD的面积=30²=900cm²，
∴P（飞镖落在圆内）=$\frac{半径为5cm的圆的面积}{边长为30cm的正方形ABCD的面积}$=$\frac{25π}{900}$=$\frac{π}{36}$；
（2）如图可得：当点O落在以AB为直径的半圆内△OAB为钝角三角形．

∵S_半圆=$\frac{1}{2}$•π•15²=$\frac{225}{2}π$，
∴P（△OAB为钝角三角形）=$\frac{\frac{225}{2}π}{900}$=$\frac{π}{8}$．

点评 本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．