Question

如图，A、B、C、D是⊙O上四点，弦AD长为3cm，AB长为5cm，∠DAB=90°，AC平分∠DAB，则弦AC的长为（　　）

• A、4cm
• B、

  4 34

  5

  cm
• C、

  5 34

  6

  cm
• D、4

  2

  cm

Answer 1

分析：连接BD，则BD是⊙O的直径．由于AC平分∠DAB，根据圆周角定理可证得△BCD是等腰直角三角形；
过D作DE⊥AC于E，可分别在Rt△ADE、Rt△CDE中，通过解直角三角形求得AE、CE的长，进而求出AC的值．

解答：解：连接BD，过D作DE⊥AC于E．
由于∠BAD=90°，则BD必为⊙O的直径，∠DCB=90°．
已知AC平分∠DAB，即∠CDB=∠CAB=∠CBD=∠CAD=45°，即△BCD是等腰直角三角形．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=

AD2+BD2

=

34

．
在Rt△CBD中，∠CDB=∠CBD=45°，则：CD=

2

2

BD=

17

．
在Rt△ADE中，AD=3，∠DAE=45°，则：DE=AE=

2

2

AD=

3 2

2

．
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE=

CD2-DE2

=

5 2

2

．
∴AC=AE+CE=4

2

，
故选D．

点评：此题主要考查的是圆周角定理以及解直角三角形的应用，难度适中．