Question

如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①S_△AEC=2S_△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④2CD²=CE•AB．其中正确结论的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①首先易证得AC∥OD，即可得△AEC∽△DEO，然后过点E作EM⊥AC于点M，可得CE=

2

CM=

2

EO，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可证得①正确；
②易证得

AG

=

CG

=

CD

，即可得AG=CG=CD，然后由三角形三边关系，证得AC＜2CD；
③易得△ADO和△DOE不相似，可得线段OD不是DE与DA的比例中项；
④可证得△CED∽△CDO，根据相似三角形的对应边成比例，可得CD²=OC•CE=

1

2

AB•CE，即可证得结论．

解答：解：①∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴△AEC∽△DEO，
过点E作EM⊥AC于点M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分别交OC于点E，EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=

2

CM=

2

EO，
∴CE：OE=

2

：1，
∴S_△AEC=2S_△DEO；故正确；
②过点O作OG⊥AC，
∴

AG

=

CG

，
∵AD平分∠CAB，
∴

CD

=

BD

，
∵半径OC⊥AB，
∴

AC

=

BC

，
∴

AG

=

CG

=

CD

，
∴AG=CG=CD，
∴2CD＞AC，
故错误；
③∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠DAB=∠CAD=

1

2

∠CAB=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AC∥DO，
∴∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴△ADO是等腰三角形，
△DOE中，∠ADO=22.5°，∠EOD=45°，
∴△ADO和△DOE不相似，
∴线段OD不是DE与DA的比例中项，
故错误；
④∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∵∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴CD：OC=CE：CD，
∴CD²=OC•CE=

1

2

AB•CE，
∴2CD²=CE•AB．
故正确．
故答案为：①④．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、圆周角定理以及角平分线的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．