Question

【题目】已知在中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

（1）若AD是∠BAC的角平分线，AD交BC边于D，过点D作DE⊥AB与点E(如图1)，请求出BE的长及的值；

（2）点F是边AC上的一点，连接BF，把沿着直线BF对折得到，与AC交于点G，若BC=CF，如图2，请证明∽；

（3）点F是边AC上的一点，连接BF，把沿着直线BF对折得到，与AC交于点G，若，如图3，请求出的值(可以直接利用第（1）题求出的结论)

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）设CD=DE=x，则BD=6-x，通过是的角平分线，，，证明△ADE≌△ADC（AAS），可得CD=DE，AE=AC=8，推出，再根据勾股定理构建方程即可解决问题．
（2）设的度数为，由折叠可得，根据，，

可得，利用折叠和三角形的外角的性质，可得，则可证∽

（3）作A′H⊥AC于H，设的长度为，利用≌，∥，得到，由（1）得，则，解得，则有．

解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝10，

（1）设的长度为，则

∵是的角平分线，，

∴，

又∵，，

∴≌（AAS）

∴

∴

在直角中，

∴

解得

∴

综上所述，，

（2）设的度数为，由折叠可得

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

∴

又∵

∴∽

（3）如图，过点作交于点，

设的长度为，由折叠可得≌

∴，，，

∵，

∴

∴

∵

∴∥

∴

由（1）得

∴

∴

解得

∴