Question

如图，O是△ABC的外心，弦AB的垂直平分线与AB和AC分别相交于点M、N，与BC边的延长线相交于点P，求证：OA²=ON•OP．

Answer 1

分析：连接OB，所求的乘积式可化为：OA•OB=ON•OP；将上式化为比例式，然后证线段所在的三角形相似，即证△OAN∽△OPB．

解答：证明：连接OB；
∵PM垂直平分AB，
∴OA=OB，AM=BM，OM⊥AB；
∴∠AOM=∠BOM=

1

2

∠AOB；
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，∴∠ACB=∠AOM；
∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC；
∵∠PNC=∠ANO，∴∠P=∠NAO；
∵∠AOM=∠MOB，
∴∠AON=∠BOP；
∴△ANO∽△PBO，
∴

ON

OB

=

OA

OP

，即OA•OB=OP•ON；
∵OA=OB，
∴OA²=ON•OP．

点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，涉及到的知识点有：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质等，综合性强，难度偏大．