Question

【题目】图，反比例函数的图象经过点A(1，4)，直线y=2x+b（b≠0）与双曲线在第一、三象限分别相交于P，Q两点，与x轴、y轴分别相交于C，D两点．（1）求k的值；（2）当b=-3时，求△OCD的面积；

（3）连接OQ，是否存在实数b，使得S△ODQ=S△OCD？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=4； （2）S△OCD=； （3）存在，b的值为﹣2．

【解析】

（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得；

（2）当时，直线解析式为，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出，，然后根据三角形面积公式求解；

（3）先表示出，根据三角形面积公式，由于，所以点和点到的距离相等，则的横坐标为，利用直线解析式可得到，再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到，然后解方程即可得到满足条件的的值.

（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（1，4），

∴k=1×4=4；

（2）当b=﹣3时，直线解析式为y=2x﹣3，

∴C（，0），D（0，﹣3），

∴S△OCD=；

（3）存在．

在直线y=2x+b上，

当y=0时，2x+b=0，解得x=，则C（，0）.

∵S△ODQ=S△OCD，

∴点Q和点C到OD的距离相等.

∵点Q在第三象限，

∴点Q的横坐标为.

当x=时，y=2x+b=2b，则Q（，2b）.

∵点Q在反比例函数y=的图象上，

∴2b=4，解得b=﹣2或b=2（舍去），

∴b的值为﹣2．