Question

（2013•滨湖区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求线段AC的长度；
（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求出AC即可；
（2）过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3-t，证△AHP∽△ABC，求出PH=

4

5

t，根据三角形面积公式求出即可；
（3）①根据线段的垂直平分线的性质求出AP=AQ，得出3-t=t，求出即可，延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，
证△AQO∽△ABC，求出AO=

AQ

AB

•AC=

5

2

，OQ=

AQ

AB

•BC=2，PO=1，证△APE∽△OPQ求出AE即可；②当点Q从B向A运动时l经过点B，求出CP=AP=

1

2

AC=2.5，即可求出t；（ⅱ）当点Q从A向B运动时l经过点B，求出BP=BQ=6-t，AP=t，PC=5-t，过点P作PG⊥CB于点G，证△PGC∽△ABC，求出PG=

3

5

（5-t），CG=

4

5

（5-t），BG=

4

5

t，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=5；

（2）如图1，

过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3-t，
则∠AHP=∠ABC=90°，
∵∠PAH=∠CAB，
∴△AHP∽△ABC，
∴

AP

AC

=

PH

BC

，
∵AP=t，AC=5，BC=4，
∴PH=

4

5

t，
∴S=

1

2

•（3-t）•

4

5

t，
即S=-

2

5

t²+

6

5

t，t的取值范围是：0＜t＜3．

（3）①如图2，

∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A，
∴AP=AQ，
∴3-t=t，
∴t=1.5，
∴AP=AQ=1.5，
延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，
∴△AQO∽△ABC，
∴

AO

AC

=

AQ

AB

=

QO

BC

，
∴AO=

AQ

AB

•AC=

5

2

，OQ=

AQ

AB

•BC=2，
∴PO=AO-AP=1，
∵OQ∥BC∥AD，
∴△APE∽△OPQ，
∴

AE

OQ

=

AP

OP

，
∴AE=

AP

OP

•OQ=3．

②如图③，
（i）当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCB，
∴CP=BP=AP=t
∴CP=AP=

1

2

AC=

1

2

×5=2.5，
∴t=2.5；
（ⅱ）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B，

BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
过点P作PG⊥CB于点G，
则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴

PC

AC

=

PG

AB

=

GC

BC

，
∴PG=

PC

AC

•AB=

3

5

（5-t），CG=

PC

AC

•BC=

4

5

（5-t），
∴BG=4-

4

5

(5-t)=

4

5

t
由勾股定理得BP²=BG²+PG²，即(6-t)2=(

4

5

t)2+[

3

5

(5-t)]2，
解得t=

45

14

．

点评：本题考查了矩形性质，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．