Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，sin∠ACB=

3

5

，E为BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线AC上，记作B′．
（1）求BE的长；
（2）连接DB'，求cot∠B′DC的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，通过解直角三角形，可求得BC、AC的长；根据折叠的性质知BE=B′E，AB=AB′=3；可用BE分别表示出B′E和EC，即可在Rt△B′EC中，根据勾股定理求得BE的长；
（2）过B′作B′F⊥CD于F，易证得△CFB′∽△CDA，即可由相似三角形所得比例线段求出B′F和CF的长，进而可求得DF的长，在Rt△B′DF中，已知了B′F和DF的长，即可求得cot∠BDC的值．

解答：解：（1）矩形ABCD中，∠B=90°，
∴AC=

AB

sin∠ACB

=5，∴BC=

AC2-AB2

=4；（2分）
由翻折得B'E=BE，∠EB'C=90°；
在Rt△EB'C中，sin∠ECB′=

EB′

EC

；
设BE=x，则EC=4-x，∴

x

4-x

=

3

5

，（1分）
解得x=

3

2

∴BE的长为

3

2

；（2分）

（2）过点B'作B'F⊥CD，垂足为F；（1分）
∵矩形ABCD中，∠D=90°，
∴∠B'FC=∠D=90°，∴B'F∥AD；（1分）
∴

CB′

AC

=

CF

CD

=

B′F

AD

，∴CF=

6

5

，B′F=

8

5

；（2分）
在Rt△B'FD中，cot∠B′DC=

DF

B′F

=

CD-CF

B′F

=

9

8

．（1分）

点评：此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、勾股定理的应用以及锐角三角函数的定义等重要知识，难度适中．