Question

9、如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，则以下四个结论一定正确的是：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边△；④CG⊥AE（　　）

A、只有①②

B、只有①②③

C、只有③④

D、①②③④

Answer 1

分析：根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．

解答：解：∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD，BE=AB
∵AD=BC，AB=DC
∴FD=BC，BE=DC
∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC，故①正确；
∵AF=FD，AE=DC，EF=CF
∴△EAF≌△CDF
∴∠CDF=∠EAF，故②正确；
∵∠AFC=∠AFE+∠EFD+∠DFC，∠AFE+∠EFD=60°
∴∠AFC-∠DFC=60°
∴∠AFE=∠DFC
∴∠EFC=60°
同理，∠FEC=60°
∵CF=CE
∴△ECF是等边三角形，故③正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴G不是AE的中点，CG⊥AE不能求证，故④错误．
故选B．

点评：本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．