Question

已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
（1）求证：∠AOC=∠BOD；
（2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵OA=OB，OC=OD，
∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，
∵∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，
∴∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，
∴∠AOC=∠DOB；
（2）过O作OE⊥AB于E，
∴AE=EB，CE=ED，
∴AE-CE=BE-DE，
即AC=BD．
分析：（1）由于OA=OB，OC=OD，利用等边对等角易得∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，而利用三角形外角性质可得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，从而可得∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，再利用等量相减，差相等可得∠AOC=∠DOB；
（2）过O作OE⊥AB于E，利用垂径定理有AE=EB，CE=ED，于是AE-CE=BE-DE，即AC=BD．
点评：本题考查了垂径定理、三角形外角性质、等边对等角，解题的关键是作辅助线OE．