Question

如图，正方形ABCD中，连接BD．点E在边BC上，且CE=2BE．连接AE交BD于F；连接DE，取BD的中点O；取DE的中点G，连接OG．下列结论：①BF=OF；②OG⊥CD；③AB=5OG；④sin∠AFD=；⑤其中正确结论的个数是

1. A.
   5
2. B.
   4
3. C.
   3
4. D.
   2

Answer 1

B
分析：由条件四边形ABCD是正方形可以得出AB=BC=CD=DA，AD∥BC，S_△ABE=S_△BED，通过作辅助线制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出线段之间的关系，三角形面积的等积变换，平行线的性质就可以求出相应的结论．
解答：∵CE=2BE，
∴，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AD∥BC，
∴△BFE∽△DFA，
∴=，
∵O是BD的中点，G是DE的中点，
∴OB=OD，OG=BE，OG∥BC，
∴BF=OF，①正确
OG⊥CD，②正确
OG=BC=AB，即AB=6OG，③错误，
连接OA，
∴OA=OB=2OF，OA⊥BD，
∴由勾股定理得；AF=OF，
∴sin∠AFD===，④正确，
∵OG=BE，
∴=，
设S△ODG=a，则S△BED=4a，
∴S△BEF=a，
S△AFB=3a，
∴，⑤正确．

∴共正确的由4个．
故选B．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．