Question

（2013•沙湾区模拟）从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分
题甲：已知矩形两邻边的长a、b是方程x²-(k+1)x+

1

4

k2+1=0的两根．
（1）求k的取值范围；
（2）当矩形的对角线长为

5

时，求k的值；
（3）当k为何值时，矩形变为正方形？

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式就可以求出k的取值范围；
（2）根据 根与系数的关系a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，再根据勾股定理建立方程就可以求出结论；
（3）当△=0时，由根的判别式就可以求出结论．

解答：解：（1）由题意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）≥0，
解得：k≥

3

2

；
故k的取值范围是k≥

3

2

；

（2）∵a、b是方程x²-(k+1)x+

1

4

k2+1=0的两根．
∴a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，
∴（a+b）²=（k+1）²
∴a²+b²+2ab=k²+2k+1，
∴a²+b²=

1

2

k²+2k-1．
∵a²+b²=（

5

）²，
∴

1

2

k²+2k-1=5，
解得：k₁=-6（舍去），k₂=2
∴k=2．

（3）由题意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）=0，
解得：k=

3

2

点评：本题是一道一元二次方程的综合试题，考查了根的判别式的运用，根与系数的关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时灵活运用根的判别式是解答本题的关键．