Question

如图，已知等边三角形ABC，
（1）以点B为旋转中心，把△ABC按顺时针旋转60°，请画出所得的像．
（2）求证：像和原三角形组成的四边形是平行四边形；
（3）若△ABC的边长为1cm，求所组成的平行四边形各组对边之间的距离．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的内角等于60°的性质，分别以点B、C为圆心，以三角形的边长为半径画弧，两弧相交于点C′，连接BC′、CC′，则△BCC′就是△ABC旋转后的图象的位置；
（2）根据旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，确定四边形的一组对边相等，再根据等边三角形的内角等于60°与旋转角是60°，证明这组对边平行，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（3）平行四边形各组对边之间的距离等于等边三角形的高．

解答：解：（1）如图所示：

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，
∴BC′=BC=AC，
∵旋转角是60°，
∴∠CBC′=60°，
∴∠ACB=∠CBC′，
∴AC∥BC′，
∴四边形ABC′C是平行四边形，
即像和原三角形组成的四边形是平行四边形；

（3）∵△ABC的边长为1cm，
∴△ABC的高为：1×sin60°=

3

2

cm，
平行四边形各组对边之间的距离等于等边三角形的高，是

3

2

cm．

点评：本题考查了利用旋转作图，等边三角形的三条边都相等，三个内角都等于60°的性质，巧妙运用旋转角与等边三角形的内角相等是解题的关键．