Question

在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4

3

，0）．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）当t为何值时，线段DE长为

39

；
（2）当线段EF与以点B为圆心，半径为1的⊙B有两个公共交点时，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，由OA=4，OC=4

3

，运用正切函数的定义得出∠C=30°，再运用含t的代数式分别求出点E、F的坐标，然后根据线段DE长为

39

得到关于t的方程，求解即可；
（2）当线段EF与⊙B有两个公共交点时，直线EF与⊙B相交，此时圆心到直线的距离小于圆的半径．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，B（0，0），A（0，4），C（4

3

，0），
∴tanC=OA：OC=

3

3

，
∴∠C=30°．
在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t，CF=

3

t，
∴OF=4

3

-

3

t，
∴D（4

3

-

3

t，t）．
又∵AE=t，
∴OE=4-t．
∴E（0，4-t）．
当线段DE长为

39

时，有（4

3

-

3

t）²+（t-4+t）²=39，
解得t₁=

5

7

，t₂=5（不合题意，舍去）．
故t₁=

5

7

时，线段DE长为

39

；

（2）∵⊙B的半径为1，
∴当点O到EF的距离小于1时，直线EF与⊙B相交．
而点O到EF的距离即为直角△EOF斜边EF上的高的长度，设直角△EOF斜边EF上的高为h．
∵AE∥DF，AE=DF=t，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴∠EFO=∠C=30°，
则h=OF•sin∠EFO=

1

2

OF=

4 3 - 3 t

2

，
∴

4 3 - 3 t

2

＜1，
解得t＞

12-2 3

3

．
又∵点D从点C出发沿CA方向运动，同时点E从点A出发沿AB方向运动，DF⊥BC于点F，
∴AE＜4
故t的取值范围为：

12-2 3

3

＜t＜4．

点评：本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，直线与圆的位置关系和正切函数的定义，综合性较强，有一定的难度．