Question

（2005•镇江）平面直角坐标系内有两条直线l₁、l₂，直线l₁的解析式为y=-x+1，如果将坐标纸折叠，使直线l₁与l₂重合，此时点（-2，0）与点（0，2）也重合．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）设直线l₁与l₂相交于点M，问：是否存在这样的直线l：y=x+t，使得如果将坐标纸沿直线l折叠，点M恰好落在x轴上若存在，求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）设直线l₂与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，以点C（0，）为圆心，CA的长为半径作圆，过点B任作一条直线（不与y轴重合），与⊙C相交于D、E两点（点D在点E的下方）
①在如图所示的直角坐标系中画出图形；
②设OD=x，△BOD的面积为S₁，△BEC的面积为S₂，，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为将坐标纸折叠，使直线l₁与l₂重合，此时点（-2，0）与点（0，2）也重合．所以折痕是直线y=-x，然后利用直线l₁与x轴交点（，0），与y轴交点（0，1），求出l₂过点（0，-），（-1，0），利用待定系数法即可求出解析式；
（2）因为直线l₁与l₂相交于点M，所以将两个函数的解析式联立，得到方程组，解之即可得到M（-3，3），又因将坐标纸沿直线l折叠，点M恰好落在x轴上，所以可设M的对应点为N（a，0），则l：y=x+t过MN的中点F（），进而利用解析式可求出a=6-2t，求出y=x+t与x轴交于E（-t，0），利用ME=NE，结合两点间的距离公式即可列出方程（-3+t）²+3²=（a+t）²，即可求出l的解析式为y=x+3；
（3）因为直线l₂与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，所以可求A（-1，0），B（0，-），又因以点C（0，）为圆心，CA的长为半径作圆，过点B任作一条直线（不与y轴重合），与⊙C相交于D、E两点（点D在点E的下方），所以OA=1，OB=1.5，OC=，连接CA，利用AO²=OC•OB，∠AOC=∠AOB=90°，可证△AOC∽△BOA，从而有∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，即可求出BA是⊙C的切线，利用切割线定理可得BA²=BD•BE，利用勾股定理可得AB 2=，两者结合可得BE=．
再设D（a，b），∠DBO=α，则S₁=OB•|a|，S₂=BC•BE•sinα=BC•BE••|a|，y=，代入相关数据可得y==BD²，再利用勾股定理得到BD²=DQ²+QB²=（+b）²+a²，a²+b²=x²，CD²=CQ²+DQ²，代入相关数据可得：b=（x²-1），y=（+x²+x²-）．
解答：解：（1）∵将坐标纸折叠，使直线l₁与l₂重合，此时点（-2，0）与点（0，2）也重合．
∴折痕是直线y=-x，
∵直线l₁的解析式为y=-x+1，
∴该直线与x轴交于点（，0），与y轴交于点（0，1），
∴l₂点（0，-），（-1，0），
设l₂解析式为y=kx-，
则有0=-k-，即k=-，
∴l₂的解析式为y=-x-；

（2）因为直线l₁与l₂相交于点M，
∴，
∴，即M（-3，3），
∵将坐标纸沿直线l折叠，点M恰好落在x轴上，
∴设M的对应点为N（a，0），则l：y=x+t过MN的中点F（），
∴，即a=6-2t，
∵y=x+t，与x轴交于E（-t，0），ME=NE，
∴（-3+t）²+3²=（a+t）²，
∴t=3，即l的解析式为y=x+3；

（3）∵直线l₂与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，
∴A（-1，0），B（0，-），
∵以点C（0，）为圆心，CA的长为半径作圆，过点B任作一条直线（不与y轴重合），与⊙C相交于D、E两点（点D在点E的下方），
∴OA=1，OB=1.5，OC=，
连接CA，
∵AO²=OC•OB，即，
∵∠AOC=∠AOB=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∵CA是半径，
∴BA是⊙C的切线，
∴BA²=BD•BE，
∵在直角三角形AOB中，AB²=OA²+0B²=1+=，
∴BE=，
设D（a，b），∠DBO=α，
则S₁=OB•|a|，S₂=BC•BE•sinα=BC•BE••|a|，
∴y=，
∵OB=，BC=，
∴y==BD²，
∵BD²=DQ²+QB²=（+b）²+a²，a²+b²=x²，
∴BD²=+x²+3b，
∵CD²=CQ²+DQ²，
∴1+=a²+（-b）²，
∴b=（x²-1），
∴y=（+x²+x²-），
即y=x²．
点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用切线的有关性质、勾股定理、待定系数法即可解决问题．