题目内容

如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM= $数学公式$ ，∠MAN=135°，则四边形AMCN的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：根据正方形的性质求出AO的长，用勾股定理求出MO的长，然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°可以得到相似三角形，根据相似三角形的性质求出DN的长，再计算AMCN的面积．
解答：

解：设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AO⊥BD，AO=OB= $\text{[math]}$ ，
∵MO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴MB=MO-OB= $\text{[math]}$ ，
又∵∠ABM=∠NDA=135°，∠NAD=∠MAN-∠DAB-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB=∠AMB，
∴△ADN∽△MBA，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而DN= $\text{[math]}$ •BA= $\text{[math]}$ ×1= $\text{[math]}$ ．
根据对称性可知，四边形AMCN的面积：S=2S_△MAN=2× $\text{[math]}$ ×MN×AO=2× $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故答案是： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质，运用勾股定理求出相应线段的长，再根据∠MAN=135°和∠BAD=90°，得到相似三角形，用相似三角形的性质求出DN的长，然后根据对称性求出四边形的面积．