Question

19．△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，它的两个锐角的正弦值是一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两根，则Rt△ABC的两直角边的长为6cm/8cm．

Answer 1

分析 根据勾股定理和一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，即可得出结果．

解答 解；∵一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0，
∴整理得：（m+5）x²+（5-2m）x+12=0，
∵两个锐角的正弦值是一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两根，
∴sinA+sinB=$\frac{2m-5}{m+5}$，sinA•sinB=$\frac{12}{m+5}$，
∵sin²A+cos²B=1，sinB=cosA，
∴（$\frac{2m-5}{m+5}$）²-2×$\frac{12}{m+5}$=1，
解得：m=20，或m=-2（舍去），
∴m=20，
∴方程为25x²-35x+12=0，
解得：x=$\frac{4}{5}$，或x=$\frac{3}{5}$，
若sinA=$\frac{4}{5}$，∵AB=10cm，∴BC=8cm，∴AC=6cm；
若sinB=$\frac{4}{5}$，∵AB=10cm，∴AC=8cm，∴BC=6cm；
综上所述：Rt△ABC的两直角边的长为6cm、8cm；
故答案为：6cm、8cm．

点评 本题考查了勾股定理、根与系数的关系及锐角三角函数的定义，难度较大，主要掌握利用一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．