Question

（2013•呼伦贝尔）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，DE和⊙O相切于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．
（1）求证：∠CAD=∠BAD；
（2）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，由DE和⊙O相切于点D，DE⊥AC，易证得OD∥AE，继而证得：∠CAD=∠BAD；
（2）首先连接BD，易证得△EAD∽△DAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD的长，又由勾股定理求得DE的长．

解答：（1）证明：连接OD，
∵DE和⊙O相切于点D，
∴OD⊥DE，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AE，
∴∠EAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠EAD=∠OAD，
即∠CAD=∠BAD；

（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠E=90°，
∵∠CAD=∠BAD，
∴△EAD∽△DAB，
∴AE：AD=AD：AB，
∵AE=8，⊙O的半径为5，
∴AB=10，
∴AD²=AE•AB=80，
在Rt△ADE中，DE=

AD2-AE2

=4．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．