Question

【题目】如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°∠ABD;④BD平分∠ADC;⑤∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有__________(填序号)

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．

∵AD平分∠EAC，

∴∠EAC=2∠EAD，

∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，∴①正确；

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，

∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确；

∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，

∴∠DAC=∠EAC,∠DCA=∠ACF，

∵∠EAC=∠ACB+∠ACB,∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，

∴∠ADC=180°(∠DAC+∠ACD)=180° (∠EAC+∠ACF)=180° (∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC)=180° (180°∠ABC)=90°∠ABC，∴③正确；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∵∠ADB=∠DBC,∠ADC=90°∠ABC，

∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；

∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，

∴∠BAC=2∠BDC，∴⑤正确；

故答案为：①②③⑤