Question

(10分)如图，已知抛物线与轴交于A(1，0)，B（，0）两点，与轴交于点
C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结AC．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与轴交于点Q，求点D的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（10分）解（1）设此抛物线的解析式为：

∵抛物线与轴交于A（1，0）、B（两点，
∴
又∵抛物线与轴交于点C（0，3）
∴，
∴
∴
即……………3分
用其他解法参照给分
（2）∵点A（1，0），点C（0，3）
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，OC⊥轴
∴△QOC∽△COA
∴，即
∴OQ=9，……………………4分
又∵点Q在轴的负半轴上，∴Q（
设直线DC的解析式为：，则
   解之得：
∴直线DC的解析式为：……………………5分
∵点D是抛物线与直线DC的交点，
∴   解之得：   （不合题意，应舍去）
∴点D（……………………6分
用其他解法参照给分
（3）如图，点M为直线上一点，连结AM，PC，PA
设点M（，直线与轴交于点E，∴AE=2
∵抛物线的顶点为P，对称轴为
∴P（
∴PE=4
则PM=
∵S_{四边形AEPC}=S_{四边形OEPC}+S_△AOC
=
=
=……………………7分
又∵S_{四边形AEPC}= S_△AEP+S_△ACP
S_△AEP=
∴+S_△ACP=……………………8分
∵S_△MAP=2S_△ACP
∴
∴
∴，……………………9分
故抛物线的对称轴上存在点M使S_△MAP=2S_△ACP
点M（或……………………10分
用其他解法参照给分解析:
略