Question

已知抛物线y=（m+1）x²-2mx+m（m为整数）经过点A（1，1），顶点为P，且与x轴有两个不同的交点．
（1）判断点P是否在线段OA上（O为坐标原点），并说明理由；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁、x₂，且x₁＜x₂，是否存在实数m，使x₁＜m＜x₂？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题可先表示出P点的坐标，根据抛物线与x轴有两个交点，令y=0，那么得出的一元二次方程应该有两个实数根，即△＞0（且m≠-1），由此可得出m的取值范围．然后用m的取值范围来判断P点是否在线段OA上即可；
（2）由于x₁＜m＜x₂，那么（x₁-m）（x₂-m）＜0，可根据一元二次方程根与系数的关系，来求出此时m的取值范围．

解答：解：（1）点P不在线段OA上，
理由：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴方程（m+1）x²-2mx+m=0（*）有两个实数根，
∴△=4m²-4m（m+1）＞0，
又∵m+1≠0，
∴m＜0，且m≠-1．
根据题意可知：P点的坐标为（

m

m+1

，

m

m+1

），
因此分两种情况进行讨论：
①当-1＜m＜0时，m+1＞0，

m

m+1

＜0，点P在第三象限，此时点P不在线段OA上；
②当m＜-1时，m+1＜0，

m

m+1

＞0，点P在第一象限，
∵

m

m+1

-1=

-m

m+1

＞0，
∴

m

m+1

＞1
∴点P不在线段OA．综上所述，点P不在线段OA上；
（2）存在实数m满足x₁＜m＜x₂，由于x₁，x₂是方程（*）的两个不相等的根，
因此x₁+x₂=

2m

m+1

，x₁•x₂=

m

m+1

．
（x₁-m）（x₂-m）=x₁•x₂-m （x₁+x₂）+m²=

m

m+1

-

2m2

m+1

+m²=

m(m2-m+1)

m+1

，
∵x₁＜m＜x₂，
∴（x₁-m）（x₂-m）＜0，
即

m(m2-m+1)

m+1

＜0，
又因为m＜0，且m≠-1，
∴m的取值范围是：-1＜m＜0．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系等知识，要注意本题中待定系数的范围不确定，因此要分类讨论．