Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线与x轴的交点A与C坐标设出抛物线的二根式方程，将B坐标代入即可确定出解析式；
（2）过M作x轴垂线MN，三角形AMB面积=梯形MNOB面积+三角形AMN面积-三角形AOB面积，求出即可．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+4）（x-2），
将B（0，-4）代入得：-4=-8a，即a=

1

2

，
则抛物线解析式为y=

1

2

（x+4）（x-2）=

1

2

x²+x-4；

（2）过M作MN⊥x轴，
将x=m代入抛物线得：y=

1

2

m²+m-4，即M（m，

1

2

m²+m-4），
∴MN=|

1

2

m²+m-4|=-

1

2

m²-m+4，ON=-m，
∵A（-4，0），B（0，-4），∴OA=OB=4，
∴△AMB的面积为S=S_△AMN+S_梯形MNOB-S_△AOB
=

1

2

×（4+m）×（-

1

2

m²-m+4）+

1

2

×（-m）×（-

1

2

m²-m+4+4）-

1

2

×4×4
=2（-

1

2

m²-m+4）-2m-8
=-m²-4m
=-（m+2）²+4，
当m=-2时，S取得最大值，最大值为4．

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形性质，三角形及梯形的面积求法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．