Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于．

（1）求函数表达式；

（2）点是线段中点，点是上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，过点作轴垂线，垂足为，点为线段上一动点，将绕点顺时针方向旋转90°，点，，的对应点分别是，，，点从点出发，先沿适当的路径运动到点处，再沿运动到点处，最后沿适当的路径运动到点处停止．求面积的最大值及点经过的最短路径的长；

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大面积为；点Q运动最短路径为

【解析】

（1）根据题意可设二次函数顶点式，再用待定系数法求解即可.

（2）观察图形发现本身的面积不易表示，由条件点是线段中点想到三角形的中线将其面积分为相等的两部分，所以将求面积最大值转化为求 的面积最大值，方法可过作轴的垂线，交于点，通过二次函数解析式与直线的解析式分别设出点与点的坐标，再表示出的面积转化为新的二次函数求最值；

求点经过的最短路径，先要确定点的位置，可作点关于的对称点，连接交于一点，该点即为点运动路径最短时的点，原因是此时与共线，最后根据点的坐标求出线段长度即可.

因为抛物线与轴交于，两点，

可设函数解析式为：，

根据题意得：

解得：

∴解析式为：；

（2）∵点是线段中点

∴

∴当面积最大时，的面积最大；

过作轴的垂线，交于点，

易得直线的直线方程为：

设，

∴

当时，有最大面积，最大面积为

∴，，

作点关于的对称点，

连接交于一点，该点即为点运动路径最短时的点，

因为， ，所以

根据旋转的性质，，所以

因为与关于对称，所以

∴在中，

∴点运动最短路径为.