Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．

Answer 1

设梯形OPFE的面积为S.

(1) A(20，0)，B(0，20) ∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°..

当t=1时，OE=1，AP=3，∴OP=17，EF=BE=19.

∴S=(OP+EF)·OE=18.

(2) OE=t，AP=3t，∴OP=20-3t，EF=BE=20-t.

∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t =-2t²+20t=-2(t-5)²+50.

∴当t=5 (在0<t<范围内)时，S_最大值=50.

当t=t₁时，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；当t=t₂时，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；

∴，又∠A=∠A，∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.