题目内容
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点Q在AB上且AQ=2，过点Q作QR⊥AB垂足为Q，QR交折线AC-CB于R，当点Q以每秒1个单位的速度向终点B移动时，点P同时从点A出发，以每秒3个单位的速度沿AB-BC-CA移动．设移
动的时间为t（秒），（1）当t=1秒时，RQ=
（2）设△ARQ的面积是S，请写出S与t的函数关系式．
（3）t为何值时PQ∥AC？
（4）当t为何值时，直线QR经过点P？
（5）当点P在AB上运动时，以PQ为边在AB上方作正方形．若正方形PQMN在Rt△ABC内部时，请计算出此时t的取值范围．
分析：（1）根据题意得△AQR∽△ACB，由相似三角形的性质求得QR，再根据三角形的面积公式求得面积；
（2）分两种情况进行讨论：①当R在AC边上，由△ARQ∽△ABC得，S=
t2+
t+
；②当R在BC边上，S=-
t2+4t+
．
（3）当PQ∥AC时，由△BPQ∽△BCA得出t；
（4）分三种情况讨论即可：①当Q．P均在AB上时；②当P在BC上时；③当P在AC上不存在QR经过点P
（5）有两种情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+t-3t=2-2t，由△APN∽△ACB得
=
，从而得出t；
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得
=
，综上两种情况，可得出t的取值范围．
（2）分两种情况进行讨论：①当R在AC边上，由△ARQ∽△ABC得，S=
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
（3）当PQ∥AC时，由△BPQ∽△BCA得出t；
（4）分三种情况讨论即可：①当Q．P均在AB上时；②当P在BC上时；③当P在AC上不存在QR经过点P
（5）有两种情况：当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，则PQ=2+t-3t=2-2t，由△APN∽△ACB得
| PN |
| BC |
| AP |
| AC |
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，则由△BPN∽△BCA得
| BP |
| BC |
| PN |
| AC |
解答：
解：（1）
，
；（2分）
（2）当R在AC边上，
由△ARQ∽△ABC得，
=
，RQ=
（2+t），
S=
（2+t）×
（2+t）=
（2+t）2=
t2+
t+
，
当R在BC边上，RQ=
（8-t），S=-
t2+4t+
；（5分）
（3）当PQ∥AC时，BQ=10-（2+t）=8-tBP=3t-10，
由△BPQ∽△BCA得：
=
，
解得t=
；（7分）
（4）①当Q．P均在AB上时AP=3t，AQ=2+t，
AP=AQ即3t=2+t，
t=1，
②当P在BC上时，
由△BPQ∽△BAC得
=
，
即：
=
，
t=5s，
③当P在AC上不存在QR经过点P，
综上当t=1s或5s时直线QR经过点P；（10分）
（5）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，
∵AP=3t，Q=2+t，
∴PQ=2+t-3t=2-2t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=2-2t，
由△APN∽△ACB得
=
，
即
=
，
解得t=
，
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，BP=10-3t，
PN=PQ=2t-2由△BPN∽△BCA得
=
，
即
=
，
解得t=
，
∵t=1时点P与点Q重合．
∴
≤t≤
且t≠1时正方形PQMN在Rt△ABC内部．（12分）
解：（1）| 9 |
| 4 |
| 27 |
| 8 |
（2）当R在AC边上，
由△ARQ∽△ABC得，
| RQ |
| 6 |
| 2+t |
| 8 |
| 3 |
| 4 |
S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
当R在BC边上，RQ=
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 32 |
| 3 |
（3）当PQ∥AC时，BQ=10-（2+t）=8-tBP=3t-10，
由△BPQ∽△BCA得：
| 8-t |
| 10 |
| 3t-10 |
| 6 |
解得t=
| 74 |
| 18 |
（4）①当Q．P均在AB上时AP=3t，AQ=2+t，
AP=AQ即3t=2+t，
t=1，
②当P在BC上时，
由△BPQ∽△BAC得
| BP |
| AB |
| BQ |
| BC |
即：
| 3t-10 |
| 10 |
| 8-t |
| 6 |
t=5s，
③当P在AC上不存在QR经过点P，
综上当t=1s或5s时直线QR经过点P；（10分）
（5）当点P在点Q的左侧时，若点N落在AC上，
∵AP=3t，Q=2+t，
∴PQ=2+t-3t=2-2t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=2-2t，
由△APN∽△ACB得
| PN |
| BC |
| AP |
| AC |
即
| 2-2t |
| 6 |
| 3t |
| 8 |
解得t=
| 8 |
| 17 |
当点P在点Q的右侧时，若点N落在BC上，BP=10-3t，
PN=PQ=2t-2由△BPN∽△BCA得
| BP |
| BC |
| PN |
| AC |
即
| 10-3t |
| 6 |
| 2t-2 |
| 8 |
解得t=
| 23 |
| 9 |
∵t=1时点P与点Q重合．
∴
| 8 |
| 17 |
| 23 |
| 9 |
点评：本题是一道综合性较强的题目，考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理以及正方形的性质，是中考压轴题，难度较大．
练习册系列答案
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已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，D是AB上一点，以BD为直径的⊙O切AC于E，求⊙O的半径．
如图，已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=12，点D是AB的中点，点O是△ABC的重心，则OD的长为（ ）在Rt△ABC中，已知a及∠A，则斜边应为（ ）
| A、asinA | ||
B、
| ||
| C、acosA | ||
D、
|
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，且AD：BD=9：4，则AC：BC的值为（ ）| A、9：4 | B、9：2 | C、3：4 | D、3：2 |