Question

如图,在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F.

    （1）求证：△ABE≌△ADF；

    （2）若∠BAE=∠EAF，求证：AE=BE；

（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM=MN（如图9）.求证：∠EAF=2∠BAE.

                                                  

Answer 1

解：（1）∵菱形ABCD，

∴AB=AD，∠ABE =∠ADF，

又∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB =∠AFD，

∴△ABE≌△ADF.

（2）∵菱形ABCD，

∴AB‖CD，

又∵AF⊥CD，

∴AF⊥AB，

∴∠BAF=,又∠BAE=∠EAF，

∴∠BAE=，∠AEB=,

∴∠B==∠BAE，

∴AE=BE.

(3) ∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE =∠DAF，AB=AD，

∴∠ABM =∠ADN，

∴△ABM≌△ADN.

∴AM =AN，

又∵∠BAN=, BM=MN，

∴AM=MN=AN，

∴∠MAN=

∴∠MAB=,

∴∠EAF=2∠BAE.