Question

如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H．
（1）如果⊙O的半径为4，CD=4

3

，求∠BAC的度数；
（2）在（1）的条件下，圆周上到直线AC距离为3的点有多少个？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到H为CD的中点，求出CH的长，在直角三角形COH中，利用锐角三角函数定义求出sin∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，再由OA=OC，利用等腰三角形的性质及外角性质即可求出∠BAC的度数；
（2）圆周上到直线AC的距离为3的点有2个，理由为：分别求出劣弧AC与弧ADC上到直线AC距离的最大值为2，6，由2＜3＜6，利用圆的对称性即可得到结果．

解答：解：（1）∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，CD=4

3

，
∴CH=

1

2

CD=2

3

，
在Rt△COH中，sin∠COH=

CH

OC

=

3

2

，
∴∠COH=60°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠COH为△AOC的外角，
∴∠BAC=

1

2

∠COH=30°；　   
（2）圆周上到直线AC的距离为3的点有2个，理由为：
∵劣弧

AC

上的点到直线AC的最大距离为2，

ADC

上的点到直线AC的最大距离为6，且2＜3＜6，
∴由圆的轴对称性得，

ADC

到直线AC距离为3的点有2个．

点评：此题考查了垂径定理，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．