Question

（2012•槐荫区一模）如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，以A为圆心，直角边AB为半径作弧BC₁，交斜边AC于点C₁，C₁B₁⊥AB于点B₁，设弧BC₁，线段C₁B₁，B₁B围成的阴影部分的面积为S₁，然后以A为圆心，AB₁为半径作弧B₁C₂，交斜边AC于点C₂，C₂B₂⊥AB于点B₂，设弧B₁C₂，C₂B₂，B₂B₁围成的阴影部分的面积为S₂，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S₃=

π

2

-1

．S_n=

π-2

2n-2

．

Answer 1

分析：每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．求得AB₂、AB₃的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解．

解答：解：根据题意，得
AC₁=AB=4．
所以AC₂=AB₁=2

2

．
所以AC₃=AB₂=2．
所以AB₃=

2

．
所以阴影部分的面积
S₃=

45π×22

360

-

1

2

×2，
=

π

2

-1；
∵AC₁=AB=4．
由图可知，
AB₁=4cosn45°，
AB₂=4cos45°•cos45°，
AB₃=4cos45°•cos45°•cos45°，
…，
AB_n-1=4（cos45°） ^n-1=4×（

2

2

）^n-1，
AB_n=4（cos45°） ^n-1=4×（

2

2

）ⁿ，
S₁=S_{扇形ABn-1Cn}-S_△ABnCn=

45π×[4( 2 2 ) n-1] 2

360

-

1

2

×4×（

2

2

）ⁿ×4×（

2

2

）ⁿ
=2π×（

2

2

）^2n-2-8×（

2

2

）²ⁿ
=（

2

2

）²ⁿ[2π×（

2

2

）^-2-8]
=（

2

2

）²ⁿ（4π-8）
=（

1

2

）ⁿ（4π-8）
=

π-2

2 n-2

．
故答案为：

π

2

-1，

π-2

2 n-2

．

点评：本题考查了扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式同时要熟悉三角函数的计算是解题的关键，要知道每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．