Question

如果⊙O外接于正方形ABCD，P为劣弧AD上的一个任意点，求：

PA+PC

PB

的值．

Answer 1

分析：如图，由BP平分直角∠APC得到∠1=∠2=45°，然后分别在△APB中和在△BPC中利用余弦定理，可以得到：PA2+PB2-

2

PA•PB=AB2和PB2+PC2-

2

PB•PC=BC2，接着利用勾股定理得到AB²+BC²=AP²+PC²=AC²，由此即可解决问题．

解答：解：如图，∵BP平分直角∠APC，
∴∠1=∠2=45°
在△APB中，由余弦定理，
得：PA²+PB²-

2

PA•PB=AB²，
同理，在△BPC中，
有PB²+PC²-

2

PB•PC=BC²，
∵AB²+BC²=AP²+PC²=AC²，
∴2PB²-

2

PB（PA+PC）=0，
∴

PA+PC

PB

=

2

当点P与点A或点D重合时

PA+PC

PB

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：此题主要考查了余弦定理和勾股定理的应用，也利用了正方形的性质，解题的关键是利用余弦定理和勾股定理得到关于PA、PC、PB的关系式解决问题．