题目内容

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，6），若抛物线的对称轴为直线x=- $数学公式$ ，且△ABC的面积为33．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在y轴的正半轴上，是否存在这样的点P，使得以P、O、B为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BC上，是否存在这样的点Q，使得点Q到直线AC的距离为5？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵C（0，6），
∴OC=6，
∴△ABC的面积= $\text{[math]}$ AB×6=33，
解得AB=11，
∵抛物线的对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-8，- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =3，
∴点A（-8，0），B（3，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的函数关系式为y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+6；

（2）∵A（-8，0），
∴OA=8，
①OP和OA是对应边时，△AOC∽△POB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

解得OP=4，
②OP与OC是对应边时，△AOC∽△BOP，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得OP= $\text{[math]}$ ，
∵点P在y轴正半轴，
∴点P的坐标为（0，4）或（0， $\text{[math]}$ ）；

（3）过点B作BD⊥AC于D，
由勾股定理得，AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =10，
BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
S_△ABC= $\text{[math]}$ AC•BD= $\text{[math]}$ ×10•BD=33，
解得BD= $\text{[math]}$ ，
∵点Q到直线AC的距离为5，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得CQ= $\text{[math]}$ ，
过Q作QE⊥y轴，QE=CQ•sin∠OCB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
CE=CQ•cos∠OCB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
点Q在点C的下方时，点Q的纵坐标为6- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
此时，点Q的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
点Q在点C的上方时，点Q的纵坐标为6+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
此时，点Q的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
综上所述，直线BC上存在点Q（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），使点Q到直线AC的距离为5．
分析：（1）根据点C的坐标求出OC的长度，再根据△ABC的面积求出AB的长度，然后根据二次函数的对称性求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）分OP和OA是对应边，OP与OC是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求出OP的长，然后写出点P的坐标即可；
（3）过点B作BD⊥AC于D，利用勾股定理列式求出AC、BC，再利用△ABC的面积求出BD，然后根据相似三角形对应边成比例求出CQ的长，过Q作QE⊥y轴，解直角三角形求出QE、CE，然后分点Q在点C的下方和上方两种情况求出坐标即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了三角形的面积，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，解直角三角形，难点在于（2）（3）都要分情况讨论．