Question

△ABC中，AB=AC=4，点P在BC边上运动，猜想AP²+PB•PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．

Answer 1

解：AP²+PB•PC的值不会随点P位置的变化而变化．理由如下：
过A作AH⊥BC于H．
AP²+PB•PC=AH²+PH²+（BH-PH）（CH+PH）
=AH²+PH²+BH²-PH²
=AH²+BH²=AB²=16．即AP²+PB•PC=16，是定值．
所以，AP²+PB•PC的值不会随点P位置的变化而变化．
分析：过A作AH⊥BC于H．在直角△APH中，以AH、BH来表示AP²，以BH、CH表示PB、PC的长度；然后将其代入“AP²+PB•PC”并化简即可．
点评：本题考查了勾股定理．本题通过作辅助线AH来构建直角三角形，利用勾股定理来求相关线段的长度．