Question

在△ABC中，AB=BC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=

9

2

，BQ=3

2

．
（1）求⊙O的半径；
（2）若DE=

3

5

，求四边形ACEB的周长．

Answer 1

分析：（1）连接OB，根据BQ是圆的切线，则△OBQ是直角三角形，根据勾股定理即可求得半径OB的长；
（2）根据AB=BC，O是△ABC的外心，可以得到：BC⊥AC，且AE是直径，BE=CE．易证△BOD∽△CED，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得CE的长，在Rt△ACE中根据勾股定理求得AC的长，在Rt△ABE中求得BE的长，据此即可求得四边形的周长．

解答：解：（1）连接OB．
∵BQ与⊙O相切，
∴∠OBQ=90°
∴OB=

OQ2-BQ2

=

( 9 2 )2-(3 2 )2

=

3

2

．
故半径是：

3

2

；

（2）连接BO并延长交AC于点F，
∵AB=BC则

AB

=

BC

，
∴BF⊥AC，
又∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE=∠ABE=90°，
∴BF∥CE，
∴△BOD∽△CED，
∴

BO

CE

=

OD

DE

，
∴CE=

DE•BO

OD

=

3 5 × 3 2

3 2 - 3 5

=1，
∴在Rt△ACE中，AE=3，CE=1，则AC=2

2

，
又O是AE的中点，∴OF=

1

2

CE=

1

2

，
则BF=2．
∴在Rt△ABE中，BE=

3

，
∴四边形ACEB的周长是：1+2

2

+

6

+

3

．

点评：本题主要考查了切线的性质定理，以及勾股定理，并多次运用了勾股定理，其中根据AB=AC和O是△ABC的内心，得到BF⊥AC，且AE是直径，是解决本题的关键．